Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để tích phân \(\int\limits^{1+a}_1\dfrac{1}{x\left(x-5\right)\left(x-4\right)}dx\) tồn tại
Những câu hỏi liên quan
Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần :
a) \(\int\limits^{e^4}_1\sqrt{x}\ln xdx\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{xdx}{\sin^2x}\)
c) \(\int\limits^{\pi}_0\left(\pi-x\right)\sin xdx\)
d) \(\int\limits^0_{-1}\left(2x+3\right)e^{-x}dx\)
Áp dụng phương pháp tính tích phân, hãy tính các tích phân sau :
a) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0xcos2xdx
b) intlimits^{ln2}_0xe^{-2x}dx
c) intlimits^1_0lnleft(2x+1right)dx
d) intlimits^3_2left|lnleft(x-1right)-lnleft(x+1right)right|dx
e) intlimits^2_{dfrac{1}{2}}left(1+x-dfrac{1}{x}right)e^{x+dfrac{1}{x}}dx
g) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0xcos xsin^2xdx
h) intlimits^1_0dfrac{xe^x}{left(1+xright)^2}dx
i) intlimits^e_1dfrac{1+xln x}{x}e^xdx
Đọc tiếp
Áp dụng phương pháp tính tích phân, hãy tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos2xdx\)
b) \(\int\limits^{\ln2}_0xe^{-2x}dx\)
c) \(\int\limits^1_0\ln\left(2x+1\right)dx\)
d) \(\int\limits^3_2\left|\ln\left(x-1\right)-\ln\left(x+1\right)\right|dx\)
e) \(\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\left(1+x-\dfrac{1}{x}\right)e^{x+\dfrac{1}{x}}dx\)
g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos x\sin^2xdx\)
h) \(\int\limits^1_0\dfrac{xe^x}{\left(1+x\right)^2}dx\)
i) \(\int\limits^e_1\dfrac{1+x\ln x}{x}e^xdx\)
12 tháng 11 2021 lúc 20:34
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[0;2\right]\), thỏa mãn các điều kiện f(2) = 1 và \(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{2}{3}\) Giá trị của f(1) bằng
Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:
\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)
Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\) nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:
Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)
(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)
Để tìm cụ thể giá trị k:
Từ (1) ta suy luận tiếp:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)
Do đó ta có:
\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)
Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính các tích phân sau :
a) intlimits^{dfrac{1}{2}}_{-dfrac{1}{2}}sqrt[3]{left(1-xright)^2dx}
b) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0sinleft(dfrac{pi}{4}-xright)dx
c) intlimits^2_{dfrac{1}{2}}dfrac{1}{xleft(x+1right)}dx
d) intlimits^2_0xleft(x+1right)^2dx
e) intlimits^2_{dfrac{1}{2}}dfrac{1-3x}{left(x+1right)^2}dx
g) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_{-dfrac{pi}{2}}sin3xcos5xdx
Đọc tiếp
Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_{-\dfrac{1}{2}}\sqrt[3]{\left(1-x\right)^2dx}\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)dx\)
c) \(\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}dx\)
d) \(\int\limits^2_0x\left(x+1\right)^2dx\)
e) \(\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1-3x}{\left(x+1\right)^2}dx\)
g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{-\dfrac{\pi}{2}}\sin3x\cos5xdx\)
a) =
=
b) =
=
=
c)=
d)=
=
e)=
=
g)Ta có f(x) = sin3xcos5x là hàm số lẻ.
Vì f(-x) = sin(-3x)cos(-5x) = -sin3xcos5x = f(-x) nên:
Đúng 1
Bình luận (0)
Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\cos2x.\cos^2xdx\)
b) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}dx\)
c) \(\int\limits^1_0\dfrac{x+2}{x^2+2x+1}\ln\left(x+1\right)dx\)
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{x\sin x+\left(x+1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)
a)
Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)
b)
\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)
Đúng 0
Bình luận (0)
c)
Có \(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).
Đặt \(x+1=t\)
\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
d)
\(D=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x\sin x+(x+1)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}dx+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)
Ta có:
\(\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{\pi}{4}\)
\(\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x\cos xdx}{x\sin x+\cos x}=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(x\sin x+\cos x)}{x\sin x+\cos x}=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\ln |x\sin x+\cos x|\)
\(=\ln|\frac{\pi\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}|\)
Suy ra \(D=\frac{\pi}{4}+\ln|\frac{\pi\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính các tích phân sau đây :
a) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0left(x+1right)cosleft(x+dfrac{pi}{2}right)dx
b) intlimits^1_0dfrac{x^2+x+1}{x+1}log_2left(x+1right)dx
c) intlimits^1_{dfrac{1}{2}}dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx (đặt tx+dfrac{1}{x} )
d) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0dfrac{sin3xdx}{3+4sin x-cos2x}dx
Đọc tiếp
Tính các tích phân sau đây :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(x+1\right)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)dx\)
b) \(\int\limits^1_0\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\log_2\left(x+1\right)dx\)
c) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx\) (đặt \(t=x+\dfrac{1}{x}\) )
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\sin3xdx}{3+4\sin x-\cos2x}dx\)
Tính các tích phân sau :
a) intlimits^1_0left(y^3+3y^2-2right)dy
b) intlimits^4_1left(t+dfrac{1}{sqrt{t}}-dfrac{1}{t^2}right)dt
c) intlimits^{dfrac{pi}{2}}_0left(2cos x-sin2xright)dx
d) intlimits^1_0left(3^s-2^sright)^2ds
e) intlimits^{dfrac{pi}{3}}_0cos3xdx+intlimits^{dfrac{3pi}{2}}_0cos3xdx+intlimits^{dfrac{5pi}{2}}_{dfrac{3pi}{2}}cos3xdx
g) intlimits^3_0left|x^2-x-2right|dx
h) intlimits^{dfrac{5pi}{4}}_{pi}dfrac{sin x-cos x}{sqrt{1+sin2x}}dx
i) intlimits^4_0dfrac{4x-1}{sqrt{2x+1}+2}dx
Đọc tiếp
Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^1_0\left(y^3+3y^2-2\right)dy\)
b) \(\int\limits^4_1\left(t+\dfrac{1}{\sqrt{t}}-\dfrac{1}{t^2}\right)dt\)
c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(2\cos x-\sin2x\right)dx\)
d) \(\int\limits^1_0\left(3^s-2^s\right)^2ds\)
e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\cos3xdx+\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_0\cos3xdx+\int\limits^{\dfrac{5\pi}{2}}_{\dfrac{3\pi}{2}}\cos3xdx\)
g) \(\int\limits^3_0\left|x^2-x-2\right|dx\)
h) \(\int\limits^{\dfrac{5\pi}{4}}_{\pi}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin2x}}dx\)
i) \(\int\limits^4_0\dfrac{4x-1}{\sqrt{2x+1}+2}dx\)
Câu nào mình biết thì mình làm nha.
1) Đổi thành \(\dfrac{y^4}{4}+y^3-2y\) rồi thế số.KQ là \(\dfrac{-3}{4}\)
2) Biến đổi thành \(\dfrac{t^2}{2}+2\sqrt{t}+\dfrac{1}{t}\) và thế số.KQ là \(\dfrac{35}{4}\)
3) Biến đổi thành 2sinx + cos(2x)/2 và thế số.KQ là 1
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính cách tích phân sau :
a) \(\int\limits^1_0\left(1+3x\right)^{\dfrac{3}{2}}dx\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{x^3-1}{x^2-1}dx\)
c) \(\int\limits^2_1\dfrac{ln\left(1+x\right)}{x^2}dx\)
30 tháng 12 2023 lúc 13:52
1) Tìm nguyên hàm: \(\int\dfrac{dx}{\left(x-1\right)^3\sqrt{x^2+3x+1}}\)
2) Tính tích phân sau: \(\int_0^1\left\{\dfrac{1}{x}\right\}\left(\dfrac{x}{1-x}\right)dx\) (kí hiệu \(\left\{a\right\}\) là phần lẻ của số thực \(a\))